Dnes v 18:40 vystoupí guvernér Fedu Powell. Střední a delší výnosy US bondů klesají. Dolar v zisku krátce otestoval úroveň 1,0700 za euro. Měny regionu včera oslabily. Koruna se posunula nad 23,85 za euro, dnes mírně sílí pod tuto hranici.

čnBlog: Budou jednou kvantové počítače řídit devizové rezervy? (díl 2)

Klíčové body

Zdroj: Depositphotos

předchozím díle tohoto blogu jsme se zabývali kvantovými počítači obecně. Nastínili jsme některé možné oblasti jejich využití ve financích např. při optimalizaci portfolia či oceňování derivátů, ale také mimo peněžnictví, kupříkladu pro řešení komplikovaných logistických úloh či rozkladu celých čísel na prvočísla. Také jsme se zabývali důvodem, proč kvantové počítače dokáží některé problémy řešit rychleji než počítače klasické. Jako příčinu jsme identifikovali dva kvantové jevy – superpozici (tedy skutečnost, že kvantový bit může být současně ve stavu 0 i 1) a kvantové propletení (tj. možnost v některých případech odvodit stav jednoho kvantového bitu od stavu jiného qubitu). V dnešní části si již povíme o konkrétních možných aplikacích kvantových počítačů při řízení devizových rezerv. Nejprve se zaměříme na kvantový počítač IBM QuantumTM, který jsme využili při našich experimentech, poté popíšeme kvantové algoritmy, které lze využít při měření rizik a optimalizaci portfolia a nakonec rozebereme výsledky našich experimentů a vyhlídky do budoucna.

Kvantový počítač IBM QuantumTM a programovací jazyk Qiskit

Začněme tedy s popisem nejdůležitějšího nástroje, který jsme využili při našich experimentech. Tím je skutečný kvantový počítač, resp. několik kvantových procesorů, poskytovaných společností IBM. Právě IBM patří společně s několika dalšími korporacemi (např. Google [1], Microsoft [2], Honeywell [3], D-Wave [4] či Rigetti Computing [5]) k průkopníkům v oblasti komerčních kvantových počítačů. Ačkoliv jde pochopitelně o ziskově orientované projekty, IBM nabízí některé své kvantové procesory pro výzkumné a studijní účely zdarma jako webovou službu [6]. Prakticky kdokoliv si tedy může vytvořit uživatelský účet a začít experimentovat s kvantovými výpočty. Pro uvedené účely je dostupných několik kvantových procesorů s pěti qubity. Partneři IBM, tj. univerzity či některé firmy (např. minule zmiňovaná banka J. P. Morgan), mají dostupný až 127 qubitový procesor a do roku 2023 pro ně IBM plánuje zprovoznit procesor s více než 1 000 qubity[7] [1]. Pro praktické aplikace je 5 qubitů relativně nízký počet, nicméně pro demonstraci kvantových algoritmů jsou tyto procesory plně dostačující. V rámci platformy nabízí IBM pro účely testování a ladění také tzv. simulátory kvantových procesorů, tedy programy běžící na klasickém počítači simulují kvantové procesory[2].

Kvantové procesory IBM je možné programovat dvěma způsoby. Buď na úrovni kvantových hradel, tedy podobně jako klasický počítač na úrovni instrukcí procesoru (tj. v jazyku assembler), nebo pomocí programovacího jazyka vyšší úrovně nazývaného Qiskit [8]. Sestavení programu přímo z kvantových hradel je vhodné zejména pro výukové účely, ale lze jej použít také pro jednoduché algoritmy. IBM nabízí přehledné grafické uživatelské prostředí, kde lze algoritmus sestavit metodou drag&drop a výsledky výpočtů vizualizovat (např. pomocí histogramů). Sofistikovanější programy lze psát v jazyce Qiskit, který je v podstatě nadstavbou jazyka Python. Ten je značně rozšířen ve finanční komunitě. Navíc je možné využít všechny „pythonovské“ knihovny a zkombinovat tak snadno kvantové a klasické výpočty. V rámci knihoven Qiskitu jsou již připraveny nejen často používané kvantové algoritmy (my jsme také některé z nich využili), ale také celé moduly zaměřené přímo na specifické oblasti lidské činnosti, jako je kvantová chemie, řešení optimalizačních úloh a samozřejmě pro nás nejpodstatnější finančnictví. Za další výhodu prostředí IBM považujeme možnost programovat přímo ve webovém rozhraní platformy IBM QuantumTM bez nutnosti instalace dalšího lokálního softwaru[3]
(i když tato možnost také existuje).

Měření míry rizika pomocí kvantového počítače

Nyní již můžeme přistoupit k jednotlivým problémům a algoritmům, které jsme při jejich řešení používali. Začněme měřením rizik, tedy ve financích naprosto klíčovým tématem. V našem případě jsme měřili veličiny označované jako Value-at-Risk (VaR) a Conditional VaR (CVaR). Míra VaR udává, jakou maximální ztrátu utrpíme např. v 95 % případů vývoje trhu (často se také používá hladina 99 %). Problém však je, že zbylých 5 % (resp. 1 %) případů může představovat relativně nízkou, ale také extrémní ztrátu. Tyto zbylé případy zachycuje právě hodnota CVaR, jež je průměrnou ztrátou v těchto 5 % (1 %) nejhorších případů. Evidentně jsou obě veličiny statistického charakteru, a je proto možné je vyčíslit na základě známého rozdělení pravděpodobnosti zisků a ztrát.

„Načtení“ zmíněného rozdělení pravděpodobnosti do qubitů kvantového počítače je prvním krokem pro jeho využití při měření rizik. Jak již bylo zmíněno v prvním díle tohoto blogu, qubity mohou být v superpozici, přičemž pravděpodobnost určitého výsledku měření může být různá podle „směšovacího poměru“ mezi stavy, ve kterých se tyto qubity mohou nacházet.  Pokud tedy dokážeme superpozici stavů qubitů nastavit tak, aby odpovídala rozdělení zisků a ztrát, máme první krok úspěšně za sebou. Každý výsledek měření qubitů pak odpovídá určitému zisku nebo ztrátě[4].

Druhým krokem je vlastní výpočet určité statistické charakteristiky pravděpodobnostního rozdělení – v tomto případě VaR a CVaR, nicméně algoritmus umožňuje výpočet také dalších veličin jako je průměr, medián, směrodatná odchylka atd. Vlastní výpočet statistických veličin provádíme pomocí speciálních kvantových hradel. Na základě superpozice reprezentující naše pravděpodobnostní rozdělení manipulujeme s jedním pomocným qubitem. Mění se tedy pravděpodobnost, že pomocný qubit bude po měření ve stavu 0 nebo 1. Opakované spuštění výpočtu a měření pak umožní tyto pravděpodobnosti výsledného stavu pomocného qubitu určit a odvodit z nich hodnotu naší rizikové míry. Mezi pravděpodobností stavu 1 pomocného qubitu a hodnotou rizikové míry totiž existuje matematický vztah.

Ačkoliv na první pohled se tento přístup může zdát složitý (vždyť jde jen o výpočet jednoduchých popisných statistik!), jeho hlavní výhodou je kvadratické zrychlení oproti výpočtu na klasickém počítači [9]. V momentě, kdy tedy budeme výpočty provádět nad velkým objemem dat, tj. budeme procovat s velkým počtem portfolií a dlouhými časovými řadami sloužícími jako podklad pro určení rozdělení zisků a ztrát, algoritmus jistě nalezne uplatnění.

Kvantová optimalizace „binárně“

S devizovými rezervami (resp. obecně investováním) souvisí vedle měření rizik také optimalizace portfolia spočívající v maximalizaci výnosu při co nejmenším možném riziku, přičemž zároveň jsou splněny určité podmínky, např. podíl určitého typu aktiva či měny. Také v této oblasti nabízí kvantové počítače využitelné algoritmy. Prvním z nich je Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) [10] jež dokáže najít minimum funkce s binárními proměnnými (tj. takovými, které nabývají hodnot 0 či 1) [5].

Při konstrukci optimálního portfolia se s binárním přístupem setkáme v případě, kdy ze seznamu aktiv (např. tržního indexu) vybíráme pouze omezené množství titulů, které můžeme zahrnout do portfolia a zároveň chceme mít maximální výnos při co nejmenším riziku [11]. Zda je daný titul zahrnut do portfolia, je indikováno jedničkovou hodnotou příslušné binární proměnné, pokud titul zahrnut není, proměnná je nulová. Aktiva s vyšším výnosem zvyšují hodnotu určité funkce (tzv. optimalizačního kritéria) výrazněji než ta s nižším výnosem, ta s vyšším rizikem hodnotu optimalizačního kritéria snižují výrazněji než ta s menším rizikem. Cílem je najít portfolio, pro něž bude optimalizační kritérium maximální, jinými slovy nalezne nejlepší kompromis mezi výnosem a rizikem.

Obecně jsou úlohy s binárním proměnnými pro klasické počítače složité, zejména pokud je proměnných velké množství (viz v prvním díle vzpomínaný problém obchodního cestujícího). Nicméně binární optimalizaci je možné převést na simulaci kvantového systému určitého typu, a právě pro simulace kvantových systému byly kvantové počítače navrženy. Zmíněný kvantový systém je tzv. spinové sklo, což je zvláštní druh magnetického materiálu[6]. Binární proměnné reprezentující aktiva pak odpovídají jednotlivým částicím tohoto materiálu. Algoritmus QAOA následně hledá takovou konfiguraci částic ve spinovém skle, která povede k nejnižší možné energii. Respektive v naší optimalizaci portfolia nalezne takovou kombinaci aktiv, které bude odpovídat maximálnímu výnosu korigovaného o riziko.

Podívejme se však blíže, jak QAOA funguje. Říkali jsme, že algoritmus simuluje kvantový systém. To znamená, že musí mít k dispozici nějaký popis tohoto systému, který mu napoví, jak simulaci provádět. Každý kvantový systém lze popsat tzv. Hamiltoniánem neboli operátorem energie, který říká, jak se stav systému bude vyvíjet v čase[7].  Pro každý Hamiltonián lze najít tzv. základní stav, tedy stav odpovídající nejnižší energii, do kterého každý systém přirozeně směřuje. Právě tento stav je námi hledaným optimem. QAOA pak optimum naší úlohy hledá tak, že na začátku nastaví kvantový počítač do základního stavu tzv. výchozího Hamiltoniánu. Tento Hamiltonián je „dostatečně jednoduchý“ a jeho základní stav proto známe z exaktního výpočtu. Následně začneme měnit samotný Hamiltonián systému tak, že výchozí Hamiltonián se postupně transformuje na Hamiltonián, který popisuje naši optimalizační úlohu. Mezi těmito dvěma „krajními polohami“ je Hamiltonián mixem výchozího a Hamiltoniánu naší úlohy. Pokud uvedený proces provádíme „dostatečně opatrně“, zůstáváme stále v základním stavu  v daném okamžiku platného Hamiltoniánu (toto je tzv. adiabatický teorém). Na konci je systém popsán čistě Hamiltoniánem reprezentujícím naši úlohu a získaný základní stav tedy reprezentuje optimální řešení naší úlohy.

Pro zajímavost dodejme, že QAOA je tzv. hybridní algoritmus, což znamená, že část výpočtů se provádí na klasickém počítači. Na základě výsledku jedné simulace klasický počítač přeprogramuje ten kvantový a spustí další simulace. Tento proces se opakuje, dokud není nalezeno optimální řešení.

Vedle simulace Hamiltoniánu na kvantových počítačích využívajících kvantová hradla existují speciální kvantové procesory přizpůsobené výhradně pro řešení binárních optimalizačních úloh, přičemž jejich princip je postaven na adiabatickém teorému. Takovéto specializované procesory nabízí např. společnost D-Wave [4].

Na rozdíl od předchozího algoritmu, nebyla v případě QAOA rigorózně prokázána vyšší rychlost kvantového přístupu oproti klasickému počítači. Nicméně některé studie[12][13] přinášejí empirické důkazy o vyšším výkonu QAOA ve srovnání s dnes běžně používanými optimalizačními algoritmy.

Kvantová optimalizace portfolia řešením soustavy rovnic

Určitou nevýhodou binárního přístupu k optimalizaci je fakt, že pouze rozhodne, zda určité aktivum do portfolia zařadit či nikoliv. V praxi se však často ptáme na otázku, jaký podíl na portfoliu má dané aktivum mít. V tomto případě lze např. řešit úlohu, kdy při požadovaném výnosu minimalizujeme riziko. Takovouto úlohu je možné převést na soustavu lineárních rovnic [14]. A právě zde se opět mohou uplatnit kvantové počítače díky HHL algoritmu, který umožňuje řešit soustavy rovnic s exponenciálním urychlením ve srovnání s klasickými počítači, jak jsme zmiňovali v předchozím díle blogu[8].

HHL algoritmus považuje soustavu rovnic za popis energetického stavu určitého kvantového systému. Opět tedy úlohu převádíme na simulaci kvantového systému, přičemž námi řešená soustava rovnic představuje Hamiltonián systému. Jak známo, kvantové systémy se mohou nacházet pouze v určitých přesně definovaných energetických stavech, kterým odpovídají přesně definované hodnoty energie. Prvním krokem HHL algoritmu je tak identifikace těchto hodnot energie a jim odpovídajících kvantových stavů. V následujícím kroku je z těchto jednotlivých hladin a stavů vytvořen nový kombinovaný stav (superpozice), který reprezentuje řešení naší soustavy rovnic[9]. Takto získaný stav je následně uchován v qubitech pro další použití.

Zde se ale objevuje jedno z úskalí HHL algoritmu. Změření celého stavu reprezentujícího řešení soustavy je značné nákladné z hlediska výpočetních prostředků a ve výsledku kompletně vymaže exponenciální zrychlení dodané HHL algoritmem. Nicméně řešení lze použít k jiným účelům [14], např. posouzení, zda optimální portfolio odpovídá současnému portfoliu, resp. jak moc se od něj liší. V tomto případě postačí zakódovat složení aktuálního portfolia do superpozice qubitů (podobně jako v případě pravděpodobnostního rozdělení zisků a ztrát) a tento nově získaný stav porovnat se stavem, jež představuje řešení získané HHL algoritmem[10]. Samotné porovnání superpozic dvou skupin qubitů lze převést na měření pouze jednoho pomocného qubitu a ve výsledku tak nepřijdeme o zrychlení získané HHL algoritmem. Výsledek měření pak odpoví na otázku jak moc je aktuální portfolio podobné optimálnímu.

Krátce o kvantových pamětech

Před tím než se podíváme na naše výsledky, se ještě krátce zastavíme u kvantových pamětí. Podobně jako klasický počítač, také ten kvantový potřebuje paměť, do které uloží vstupní a výstupní data a program. V současné době bohužel neexistuje kvantová verze operační paměti (tzv. qRAM), která by byla součástí dnes dostupných kvantových počítačů. Veškerá data je tak nutné skladovat v qubitech kvantového procesoru, resp. parametrech hradel. V případě, že dojde ke změně vstupů, procesor je nutné přeprogramovat. Zde je tedy situace podobná klasickým počítačům v jejich úplných začátcích na konci 40. let 20. století. Výsledkem je, že přicházíme o určitý potenciál, který kvantové počítače nabízí. Například HHL algoritmus totiž předpokládá, že vstupy jsou uloženy v qRAM. Stejně tak příprava stavů reprezentujících složení portfolia či pravděpodobností rozdělení zisků a ztrát by byla snazší, pokud bychom měli k dispozici qRAM. Vedle v minulém díle zmiňovaném problému se zajištěním koherence kvantového stavu, je vytvoření funkční qRAM kritickým bodem, který umožní další rozšíření kvantových počítačů. Na tomto poli proto probíhá intenzivní výzkum [17][18]. Navíc na konci listopadu 2021 firma Qunnect informovala o prodeji první komerční qRAM organizaci Brookhaven National Laboratory (výzkumný ústav amerického ministerstva energetiky)[19]. Paměť Qunnect je ale prozatím určena pouze pro kvantové komunikační sítě využívající pro fyzickou realizaci qubitů fotony[11], nikoliv polovodičové čipy.

K jakým výsledkům jsme došli?

Přejděme nyní ke konkrétním úlohám, které jsme na kvantovém počítači řešili. Jak již bylo zmíněno, zdarma dostupné kvantové procesory IBM mají pouze 5 qubitů (celkem je dostupných šest procesorů této velikosti).  Naše modely jsou kvůli nízkému počtu qubitů značně omezené a slouží proto pouze pro demonstraci samotného konceptu – v angličtině se pro ně vžil pojem toy-models.

Naší první úlohou bylo měření metrik VaR a CVaR. Vedle tohoto jsme vypočetli také střední hodnotu a směrodatnou odchylku. Konkrétně jsme provedli výpočet těchto parametrů pro denní výnosy dolarového pevně úročeného portfolia, přičemž pro odhad rozdělení zisků a ztrát jsme použili časovou řadu začínající v roce 2018 a končící v srpnu 2021. Získané rozdělení jsme zakódovali do kvantového stavu nejprve tří a poté také čtyř qubitů. V prvním případě bylo tedy rozdělení hrubší. Jinými slovy koše histogramu rozdělení zisků a ztrát byly širší, což vedlo k širšímu intervalu spolehlivosti odhadu dané statistické veličiny. V obou případech jsme nejprve spustili simulaci kvantového algoritmu, čímž jsme ověřili správnost naší implementace. Dodejme, že jsme provedli konstrukci algoritmu na úrovni hradel, přičemž návrh kvantového obvodu řídil námi vytvořený klasický program v Pythonu, resp. Qiskitu. Poté jsme již přistoupili k výpočtu na samotném kvantovém počítači, konkrétně na čtyřech procesorech (pojmenované Belem, Bogota, Lima a Yorktown[12]). Výpočet střední hodnoty byl úspěšný, v případě ostatních veličin byly odchylky od správných hodnot bohužel značné.  V případě použití pouze tří qubitů byly odchylky menší než v případě čtyř. Jak již bylo uvedeno, samotný algoritmus byl navržen správně, neboť výsledky simulace odpovídaly očekávaným hodnotám. Za hlavní důvod chybného výpočtu považujeme jednak šum, který vedl k narušení koherence kvantového stavu a jednak omezenou přesnost v nastavení parametrů některých kvantových hradel. Zejména šum je dnes bohužel nedílnou součástí kvantových procesorů, nicméně ve srovnání se situací před několika lety došlo k výraznému pokroku [20]. Tehdy bychom totiž nebyli schopni správně vyčíslit ani střední hodnotu.

Další úlohou bylo hledání optimálního složení portfolia pomocí řešení soustavy lineárních rovnic. Zde jsme jako příklad zvolili hledání optimálního poměru mezi dluhopisy a akciemi na portfoliu denominovaném v americkém dolaru. Očekávaný výnos, směrodatná odchylka výnosu a korelace výnosů obou tříd aktiv vycházela z dat o akciovém a pevně úročeném portfoliu v USD, opět v období 01/2018 až 08/2021.  Pro požadovaný výnos jsme hledali váhy obou aktiv. Zde opět podotýkáme, že jde o velmi jednoduchou úlohu, kterou lze vyřešit „v ruce“. Nicméně naším cílem bylo ověřit, zda kvantové algoritmy vůbec mohou v této oblasti pomoci. Pro řešení jsme využili implementaci HHL algoritmu v knihovně jazyka Qiskit. Také v tomto případě jsme využili k ověření správnosti nejprve simulátor. Bohužel již simulace vrátila chybné výsledky. Po několika testech jsme zjistili, že implementace HHL algoritmu v Qiskit není schopna pracovat se soustavami rovnic vznikajícími v rámci námi řešené úlohy. Podle neoficiálního vyjádření IBM [21] by však tato situace měla být brzy napravena a proto se k této úloze v budoucnu jistě vrátíme. Nicméně pro seznámení se s HHL algoritmem jsme provedli testy s jinými soustavami rovnic a také jsme implementovali HHL algoritmus přímo na úrovni hradel[13]. Simulace již ukázaly správné výsledky, nicméně výpočet na kvantovém počítači nebyl příliš úspěšný. Zde jsme jako hlavní problém identifikovali složitost obvodu, kdy například pro soustavy o rozměrech 4×4 vznikl obvod tvořený více než 13 000 hradly, obvod pro soustavu 2×2 obsahoval necelé dvě stovky hradel.  Bohužel krátký čas udržení koherence kvantových stavů nedovolil dovést výpočet úspěšně do konce ani v případě soustavy rozměru 2×2.

V poslední úloze jsme se opět zaobírali optimalizací portfolia, nicméně s pomocí binární optimalizace. Konkrétně jsme řešili výběr akcií, do kterých investovat. Zde dodejme, že toto není úloha, kterou v ČNB řešíme v souvislosti s rezervami. Naše strategie při investování do akcií spočívá v přesné replikaci tržních indexů, např. S&P 500. Tento typ úlohy jsme zvolili pouze jako jednoho ze zástupců užití binární optimalizace ve financích. Vraťme se ale zpět k úloze. Ze seznamu pěti akcií (maximální počet kvůli počtu qubitů v kvantovém procesoru) společností působících v americkém průmyslu polovodičů[14] jsme vybírali tři tak, abychom současně maximalizovali zisk a minimalizovali riziko. Podobně jako v předchozích úlohách vycházely výnosy, rozptyly výnosů a korelace výnosů z cen jednotlivých akcií v období 01/2018 až 08/2021. Pro řešení této úlohy jsme využili implementaci QAOA v knihovnách jazyka Qiskit. Opět jsme nejprve testovali výpočet na simulátoru, přičemž výsledky odpovídaly očekávání[15]. Poté jsme přistoupili k výpočtu na všech šesti dostupných kvantových procesorech IBM (Belem, Bogota, Lima, Manila, Quito a Santiago) a ve všech případech byly vráceny očekávané výsledky! Ve srovnání s předchozími algoritmy je QAOA relativně jednodušší co do konstrukce obvodu. Navzdory problémům se šumem v ostatních algoritmech byly proto použité kvantové procesory schopny nalézt správné řešení. Právě binární optimalizace by se brzy mohla stát první oblastí, kde budou kvantové počítače nasazeny v „průmyslovém měřítku“ [23].

Jaká je tedy budoucnost kvantových počítačů v řízení devizových rezerv?

Ačkoliv výše uvedené výsledky nejsou příliš optimistické, celkově jsme ukázali, že kvantové počítače by v budoucnu mohly být využívány při správě devizových rezerv. Prozatím sice trpí „dětskými nemocemi“, nicméně je nutné vzít v potaz, že se jedná o novou technologii, která teprve nedávno opustila laboratoře. Hlavním problémem je nyní doba, po kterou je možné zachovat koherenci kvantového stavu. Nicméně na odstranění této překážky aktuálně pracuje řada jak vědeckých institucí, tak komerčních organizací. Neméně palčivým problémem je neexistence prakticky využitelných kvantových pamětí (qRAM). V této oblasti však také probíhá intenzivní výzkum a některé výsledky jsou velmi povzbudivé.

V žádném případě bychom se neměli nechat odradit uvedenými počátečními problémy, neboť právě hledání možných aplikací a zájem o samotnou technologii je také motivací pro její další rozvoj. Navíc nové technologie jsou poměrně často podceňovány, vzpomeňme např. Thomase J. Watsona (generálního ředitele IBM v letech 1914 až 1956), který v roce 1943 prohlásil, že celosvětově vidí prostor pro nasazení maximálně pěti počítačů [24]. A podívejme se, jak rapidní vývoj oblast výpočetní techniky prodělala v následujících letech!

Výhody, které by kvantové počítače v budoucnu mohly přinést, jsou značné. Od vývoje nových léků a materiálů (tj. aplikací kvantové chemie), pomoci při řešení změny klimatu [25] až právě po aplikace ve finančnictví. Zde by mohly pomoci, vedle úloh, kterými jsme se zabývali v našem výzkumu, zejména při oceňování komplexních derivátů [26] či simulací vývoje trhu [12].

V následujících několika letech však budou kvantové počítače patřit spíše do oblasti zájmu výzkumníků a vývojářů. Tuto dobu bychom ale měli využít pro seznámení se s nimi, posoudit jejich možné aplikace a připravit se na dobu jejich masového rozšíření. Doufáme, že v oblasti centrálního bankovnictví jsme k těmto prvním krokům přispěli také naším výzkumem.

Reference:

[1] https://quantumai.google/

[2] https://azure.microsoft.com/en-us/solutions/quantum-computing/#microsoft-approach 

[3] https://www.honeywell.com/us/en/company/quantum

[4] https://www.dwavesys.com/

[5] https://www.rigetti.com/

[6] https://quantum-computing.ibm.com/docs/

[7] IBM (2021): “The Quantum Decade”. On-line: https://www.ibm.com/thought-leadership/institute-business-value/report/quantum-decade

[8] https://qiskit.org/documentation/

[9] WOERNER, S. AND D. J. EGGER (2019): “Quantum Risk Analysis.” Nature Partner Journal: Quantum Information, 5(15).

[10]  FARHI, E., J. GOLDSTONE, AND S. GUTMANN (2014): “A Quantum Approximate Optimization Algorithm.” arXiv:1411.4028v1 [quant-ph].

[11] ELSOKKARY, N., F. S. KHAN, D. L. TORRE, T. S. HUMBLE, AND J. GOTTLIEB (2017): “Financial Portfolio Management using Adiabatic Quantum Optimization: The Case of Abu Dhabi Securities Exchange.” IEEE High-performance Extreme Computing 2017 conference proceedings.

[12] DING, Y., L. LAMATA, J. D. M. GUERRERO, E. LIZASO, S. MUGEL, X. CHEN, R. ORÚS, E. SOLANO, AND M. SANZ (2019): “Towards Prediction of Financial Crashes with a D-Wave Quantum Computer.” arXiv:1904.05808v2 [quant-ph].

[13] HARWOOD, S., C. GAMBELLA, D. TRENEV, A. SIMONETTO, D. BERNAL, AND D. GREENBERG (2021): “Formulating and Solving Routing Problems on Quantum Computers.” IEEE Transactions on Quantum Engineering, 2.

[14] REBENTROST, P. AND S. LLOYD (2018): “Quantum computational finance: quantum algorithm for portfolio optimization.” arXiv:1811.03975 [quant-ph].

[15] MORRELL, H. J. AND H. Y. WONG (2021): “Step-by-Step HHL Algorithm Walkthrough to Enhance the Understanding of Critical Quantum Computing Concepts.” arXiv:2108.09004v2 [quant-ph].

[16] MOTTONEN, M., J. J. VARTIAINEN, V. BERGHOLM, AND M. M. SALOMAA (2005): “Transformation of quantum states using uniformly controlled rotations.” arXiv:quantph/0407010v1.

[17] GIOVANNETTI, V., S. LLOYD2, AND L. MACCONE (2008): “Quantum random access memory.” Physical Review Letters, 100.

[18] ZHONG, M., M. P. HEDGES, R. L. AHLEFELDT, J. G. BARTHOLOMEW, S. E. BEAVAN, S. M. WITTIG, J. J. LONGDELL, AND M. J. SELLARS (2015): “Optically Addressable Nuclear Spins in a Solid with a Six-hour Coherence Time.” Nature, 517.

[19] “Qunnect Announces Sale of First Commercial Quantum Memory” https://www.prnewswire.com/news-releases/qunnect-announces-sale-of-first-commercial-quantum-memory-301428820.html, vydáno 19. 11. 2021, citováno 23. 11. 2021

[20] GYENIS, A., A. D. PAOLO, J. KOCH, A. BLAIS, A. A. HOUCK, AND D. I. SCHUSTER (2021): “Moving beyond the transmon: Noise-protected superconducting quantum circuits.” arXiv:2106.10296v1 [quant-ph].

[21] https://github.com/Qiskit/qiskit-terra/issues/6880, citováno 27. 8. 2021

[22] CAO, Y., A. DASKIN, S. FRANKEL, AND S. KAIS (2012): “Quantum circuits for solving linear systems of equations.” Molecular Physics, 110(15-16).

[23] PRESKILL, J. (2018): “Quantum Computing in the NISQ era and beyond.” Quantum, 2.

[24] NIELSEN, M. A. AND I. L. CHUANG (2010): “Quantum Computation and Quantum Information”, 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press., pg. 277

[25]  SIMPSON W. (2021): “Six Ways Quantum Computing Can Help Tackle Climate Change”.
On-line: https://quantumcomputingreport.com/six-ways-quantum-computing-can-help-tackle-climate-change/

[26]  BOULAND, A., W. DAM, H. JOORATI, I. KERENIDIS, AND A. PRAKASHA (2020): “Prospects and challenges of quantum finance.” arXiv:2011.06492v1 [q-fin.CP].


Klíčová slova

Kvantové počítače, devizové rezervy, optimalizace portfolia, měření rizik

Klasifikace JEL

C61, C63, G11


[1] Dodejme, že se jedná o procesory založené na supravodivé technologii, která byla krátce popsána v předchozím díle tohoto blogu.

[2] Pro nasazení na praktické úlohy jsou simulátory samozřejmě nevhodné kvůli exponenciálnímu růstu požadavků na paměť a výpočetní čas s rostoucím počtem qubitů, jak již bylo zmíněno v předchozím díle tohoto blogu. Nicméně pro účely testování a ladění jsou neocenitelné.

[3] Python ve webovém rozhraní běží v tzv. interaktivní variantě a využívá framework Jupyter Notebooks.

[4] Hodnota zisku či ztráty je zakódována v podobě binárního čísla, tedy řetězce jedniček a nul, označujícího koš histogramu.

[5] Algoritmus QAOA je sice navržen pro hledání minima, nicméně maximum funkce nalezne také, pokud dané funkci předřadíme znaménko minus.

[6] Materiály lze z hlediska magnetických vlastností klasifikovat do několika skupin. Např. železo či kobalt patří mezi tzv. feromagnetika a po vyjmutí z magnetického pole zůstávají zmagnetizované. Naproti tomu paramagnetické materiály, např. hliník nebo platina, po vyjmutí z magnetického pole ztrácí magnetizaci téměř okamžitě. Spinová skla leží na pomezí mezi para- a feromagnetiky a po odstranění vnějšího pole ztrácí svou magnetizaci pozvolna (lineárně).

[7] Pro zajímavost dodejme, že Hamiltonián se vyskytuje ve známé Schrödingerově rovnici, která je jednou z ústředních v kvantové teorii a jejím řešením je právě časový vývoj stavu kvantového systému.

[8] Dodejme, že po určitých modifikacích úlohy, lze také s pomocí QAOA najít váhy jednotlivých aktiv. Nicméně tato modifikace si vyžádá „vysokou spotřebu“ qubitů a navíc oproti HHL nemáme garantováno zrychlení.

[9] Tento popis algoritmu je značně zjednodušený. Přesný popis vyžaduje znalosti lineární algebry. V případě hlubšího zájmu o problematiku nalezne čtenář technické detaily v článcích [14] a [15].

[10] Zde je nutné podotknout, že návrh obvodů pro generování některých kvantových stavů může být také až exponenciálně časově náročný v počtu qubitů [16], proto je nutné tyto obvody v budoucnu nahradit kvantovou pamětí (viz další odstavec).

[11] Princip paměti je založen na záchytu fotonu elektronem v atomovém obalu (uložení dat) a jeho uvolnění (čtení) pomocí modulovaného laserového paprsku. Tento paprsek umožní rekonstruovat původně zachycený foton. Pokud bychom pouze počkali, než excitovaný elektron foton emituje sám, foton by měl náhodné vlastnosti, čímž by došlo ke ztrátě uložené informace. Samozřejmě elektron nevydrží v excitovaném stavu nekonečně dlouho. Úkolem dalšího výzkumu je tento čas co nejvíce prodloužit (opět tedy narážíme na zajištění koherence kvantového stavu).

[12] Tento procesor byl krátce po našich výpočtech vyřazen z provozu, jelikož jde podle IBM o již zastaralý model.

[13] Vycházeli jsme z článku [22].

[14] Volba tohoto segmentu ekonomiky nijak nesouvisí s investiční strategií ČNB. Autor článku se pouze zajímá o historii tohoto průmyslového odvětví.

[15] Úlohu lze opět vyřešit ručně, pro 5 akcií existuje 25 = 32 možných podob portfolia. Poté prostým dosazením kombinací 0 a 1 do optimalizačního kritéria získáme jeho hodnoty a vybereme tu nejlepší. Navíc lze dosazovat pouze takové kombinace 0 a 1, kde jsou tři jedničky (požadujeme totiž tři akcie).

Newsletter